Роза Салихова родилась 24 сентября 1944 года в Нижнем Тагиле (Свердловская область). Волейбольную карьеру она начала в 1963 году в свердловском «Труде» (с 1966 года — «Уралочка»). В 1969—1977 годах выступала за московское «Динамо», в составе которого шесть раз становилась чемпионкой СССР и семь раз побеждала в Кубке европейских чемпионов.
В сборной СССР спортсменка выступала на протяжении восьми лет — с 1966 по 1974 год. За это время она завоевала золотые медали на Олимпийских играх 1968 года в Мехико и 1972 года в Мюнхене, стала чемпионкой мира 1970 года, обладательницей Кубка мира 1973 года, а также двукратной чемпионкой Европы. В 1968 году ей было присвоено звание заслуженного мастера спорта СССР.
В 1971 году Роза Салихова окончила Московский областной педагогический институт. После завершения спортивной карьеры в 1977 году она работала тренером команды «Буревестник» (Московская область), затем — в СДЮШОР Зеленограда. В 1980 году переехала в Зеленоград, где прожила до конца жизни. В 1989—1990 годах она тренировала московское «Динамо».
В 2014 году имя Розы Салиховой внесли в Волейбольный зал славы в Холиоке (штат Массачусетс). Она стала четвертой советской волейболисткой, удостоившейся этой чести.
