Римас Туминас родился в литовском городе Кельме. Он обучался в Литовской консерватории, окончил режиссерский факультет московского ГИТИСа. Первая постановка режиссера в Москве — «Мелодия для павлина» О. Заградника в Театре им. К. С. Станиславского. В 1990 году режиссер основал Малый драматический театр Вильнюса. С 2007 года руководил Театром имени Вахтангова. В 2011 году режиссер получил премию «Золотая маска» в номинации «лучший спектакль большой формы» за постановку «Дяди Вани» А. П. Чехова. В 2014 году режиссер получил эту премию за лучшую работу режиссера в спектакле по «Евгению Онегину» А. С. Пушкина. Римас Туминас получил около десятка государственных наград Литвы, России и Польши за заслуги в сфере культуры.
1 марта 2022 года Римас Туминас покинул Россию и вернулся в Литву. Свое решение он обосновал «необходимостью лечения». С 2014 года режиссер болел раком легких. 16 мая 2022 года премьер-министр Михаил Мишустин подписал постановление, лишающее Римаса Туминаса статуса получателя премии правительства России в области культуры. Причина такого решения в постановлении не указывалась. Одновременно с работой в России Туминас занимал должность главного режиссера Малого театра Вильнюса. До отъезда режиссера министр культуры Литвы Симонас Кайрис предложил режиссеру сделать выбор: перестать работать в России или быть уволенным в Литве. Римас Туминас заявил, что не будет принимать никаких решений самостоятельно.