Максим Забелин родился в 1979 году в Курской области. Окончил Военно-медицинскую академию по специальности «хирургия», МВА по программе «Менеджмент в здравоохранении» Российской академии народного хозяйства и госслужбы при президенте России, а также факультет «Государственное и муниципальное управление» этой же академии. Имеет степень доктора медицинских наук.
Карьеру начинал в 2003 году начальником медицинской службы авиабазы Минобороны в Курске. Работал в госпиталях, доцентом кафедры хирургии Государственного института усовершенствования врачей Министерства обороны РФ. В 2013—2015 годах — заместитель главного врача по медицинской части Московского областного онкологического диспансера. С 2015 года — заместитель генерального директора—главный врач государственного научного центра Российской Федерации «Федеральный медицинский биофизический центр им А. И. Бурназяна» (Москва).
В Башкирии Забелин работал с декабря 2018 года, когда возглавил республиканский минздрав. В марте 2021 года стал вице-премьером Башкирии, а спустя еще год был назначен руководителем администрации главы республики.
